שלום וברכה,
אינני בקיא בנושא, אז אני יכול רק להפנות אותך למקורות בפניני הלכה שבת שבהם הרב גם עסק בנושא:
https://ph.yhb.org.il/01-14-09/
שם הרב כתב:
לעניין טבילה בחמים, לדעת קרבן נתנאל (שבת ב, ק), חסד לאברהם (סימן ל, כמובא בשעה”צ שכו, ה), לא גזרו חכמים על טבילה בחמים בשבת. וכן העידו הרבה אחרונים, שנשים נוהגות לטבול בליל שבת במים חמים (דברי חיים ב, כו, מהר”י עייאש בשו”ת בני יהודה ב, לב, ושו”ת דברי יוסף סד). לעומת זאת, לדעת הנודע ביהודה (מהדו”ת כד), חכם צבי יא; בית מאיר (תחילת שכו), ח”א ע, א; רע”א (א, יז) ועוד, גם טבילה בחמים בכלל גזרת מרחצאות. ובשעה”צ שכו, ה, כתב שרק בשעת הדחק אפשר להקל. אבל למעשה רבים נוהגים להקל לנשים לטבול בחמים. וכ”כ ארח”ש (ב, כא, הערה ל); מנו”א (ח”ב י, 173); בדי השולחן (קצז, יז). ובלוית חן (עט) כתב שלכתחילה תטבול בבין השמשות (כדעת החכ”צ), שכל דבר שהוא משום שבות לא גזרו עליו בביה”ש במקום מצווה, וכשאי אפשר לטבול בין השמשות, תטבול בשבת בחמים. ונ”ל שהרוצים להחמיר, מוטב שיטבלו בפושרים, שכן ישנן שלוש דעות מהו האיסור לרחוץ בחמין שהוזכר בהלכה הקודמת:
א) לבית מאיר ורע”א, גם במים שהופגה צינתם אסור. ב) לחכם צבי יא, וחת”ס או”ח קמו, ותה”ל שכו, ג, האיסור גם בפושרים אבל במים שהופגה צינתם מותר. ג) לנודע ביהודה (מהדו”ת כד), ח”א (ע, א), זרע אמת (א, עא) וערוה”ש (שכו, ג), האיסור בחמין אבל בפושרים מותר. הרי שגם לסוברים שאסור לטבול בחמין, לדעת הנו”ב ודעימיה מותר לטבול בפושרים. ואם חום המים מעט פחות מחום הגוף, יש מקום לומר שגם לדעת החכ”צ ודעימיה אין בזה איסור. לפיכך הרוצים להחמיר, יחממו את המים פחות מחום הגוף או כחום הגוף, ובאופן זה יצאו לדעת רובם המכריע של הפוסקים, ואין בטבילה זו סבל.
(https://ph.yhb.org.il/plus/01-14-09/)ובהרחבות שבת הפנה למקורות הבאים:
ט,ח – הלכה למעשה בטבילת נשים
למעשה רבים נוהגים להקל לנשים לטבול בחמים. כ"כ ארח"ש (ב, כא, הערה ל), שיעורי שבט הלוי (קצז, ב, ו), מנו"א (ח"ב י, 173), ובדי השולחן (קצז, יז). ובלוית חן (עט) כתב שלכתחילה תטבול בבין השמשות (כדעת החכ"צ), שכל דבר שהוא משום שבות לא גזרו עליו בביה"ש במקום מצוה, וכשאי אפשר לטבול בין השמשות, תטבול בשבת בחמים. ונלענ"ד שהרוצים להחמיר, יטבלו בפושרים, היינו במים שאין בטבילה בהם שום סבל, ומנגד לדעת רבים אינם נחשבים חמים, ואולי אף לא נחשבים פושרים, וממילא לדעת רוה"פ אין בהם איסור רחצה כלל (כמבואר לעיל יד, ח, א).
לסיכום: נראה שהתיאור של 'המנהג' מסתמך על ספרים רבים, וסביר להניח שגם על היכרותו האישית של הרב מלמד. אני לא בטוח.
לגבי טענתך שרבים אינם מקילים בשופי - כאמור הובאו בהפניות האלה כמה וכמה מקילים. נבדוק את המקורות המחמירים שהפנית אליהם ונעיין בדברים בע"ה.
ישר כח גדול!